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魔性の難問:リーマン予想
　

先週、ＢＳ２でＮＨＫスペシャル『魔性の難問～リーマン予想』という１８世紀のオイラー以来の数学上最大の未解決難問であるリーマン予想を正面から扱った番組が放映されていた。これが最高に面白くて、しかもこの難しいテーマを素人にも分かりやすい形で紹介されていて、さすがにＮＨＫは一味違うなあとひとしきり感心した。

そこで今回はこのリーマン予想について私見を交えて紹介しようと思う。私がこの問題について興味を持つきっかけになったのは実は数年前に見たある映画だった。このコラムでも紹介したことがあるが、「ビューティフル・マインド｣がそれで、稀代の数学者ジョン・ナッシュの半生を描いた作品だ。この後にノーベル賞も受賞している天才数学者はリーマン予想の最大の犠牲者だと一般には言われている。

彼は数々の名声を得てそのキャリアの頂点にあった時にこのリーマン予想に取り組み、挙句の果てに戦い敗れて統合失調症に罹患し、その後３０年間もこの病気で苦しむこととなった。その過程は映画で素晴らしく描かれているが、この問題についての講演中に発症し、職も失う。その後は離婚した後も妻が献身的に介護し現在では病気は軽快している。私もこの夫婦愛については大いに感動したものだった。この映画はその年のアカデミー賞を獲得したくらいで素晴らしい出来栄えだった。

特に主演のラッセル・クロウの熱演は胸に迫るものがあった。それまでは一度もなかったことだが、鑑賞後にわざわざＤＶＤも購入して今でも折にふれて観ているくらいだ。ところが現実にはこのナッシュは同性愛者でありこの夫婦が離婚した原因は彼の男性愛人との浮気が原因だった。アカデミー作品賞を受賞したこの名画も、真相を知ってしまうと実も蓋もないような話になる・・・。やはりいくら自伝とは言え、美しい映画と生活に塗れた現実は全く違ったものなのだろう。

それは兎も角、リーマン予想のせいで挫折感を味わったり、キャリアを破壊された数学者はナッシュだけでなく枚挙に暇がない。イギリスのハーディとリトルウッドは当時世界随一の数学者で、彼等は当時の数学界で輝かしい業績を残していたが、彼等もこの問題の前に大きな敗北を喫して惨めな学者生活を送るに至った。後述するフランスの大数学者ド・ブランジュもその一人かもしれない。その後自分のキャリアの破壊を恐れて多くの数学者はこのリーマン予想から離れていった、１９７２年までは（この年に予期しない大転換が待っている）。ところでこのリーマン予想自体についてまだ紹介してなかったが、その正体は意外と簡単で下記の一行だ。

【ゼータ関数の自明でない零点は、全て実部が1/2の直線上に存在する】

なんじゃこりゃ？　簡単と言いながら、これでは我々素人には何のことやらさっぱり分からない。これを素人用に極端に分かりやすく言い換えれば「一見ランダムに並んでいるように見える素数の配列は一定の法則がある」というものらしい。素数とは１とその数自身でしか割れない数で１より大きな数。例えば２，３，５，７、１１、１３・・・・・。整数を小さい順に並べると素数は２～３すると出てくることもあるし、７２進んでも出てこないこともあるくらいで、その並びに全く規則性はないように思える。

ところがＮＨＫの今回の番組ではそれを分かりやすく表現していてそれは見事だった。ゼータ関数をグラフにした時にロート状に垂れ下がっている最下点（零点）が一直線上に並んでいる図を見事に描いていて、これだとこの自明でない零点がどういう概念なのかが素人にも本当に分かりやすかった。

リーマン自身は仮説の段階で止まって、その解決には至らなかったが、彼の大いなる業績は「素数のならびに何かの意味があるのか？」　という漠然とした文学的な表現を「ゼータ関数の零点が一直線上にあるのか？」という数学的な命題に置き換えたことだろう。それを元に後世の数学者が次第にその正体に迫っていって、この仮説は単に数学に限らずどうやら宇宙を支配する大法則にも関係しているところまで分かってきた。

現在、アメリカのクレイ数学研究所が数学の未解決問題７問に対してそれぞれ１００万ドルの懸賞金をかけている。そのなかでも最難関の問題がリーマン予想だが、これは昨年フランスの老数学者ド・ブランジュがこの問題を解決したとする論文を提出した。その過程を追ったのが今回のＮＨＫスペシャルだった。その証明には２年近くかかるので結果はまだ先にしか分からないが。

最近ではこの素数の規則性を説明するリーマンの仮説が宇宙を支配する「万物の理論」の成立に繋がっている可能性が高いと言われている。それは１９７２年のプリンストン大学におけるティータイムで初対面の二人の研究者の茶飲み話から始まった・・・・。
これからが華僑に入るわけだが、今回一回で全体を扱うのはあまりに大きいテーマなので、このリーマン予想は２回に分けて紹介することにしましょう。