ＡＢＣ予想解決！

先日、 数学の世界で現在まで残っている２つの未解明の難問のうち一つを日本の数学者がついに解決したと発表された。これはＡＢＣ予想と言われるもので １９８５年に提示されたのだが、今日までの未解決の予想や定理のうちで最も難解な課題の一つだった。その日本人とは京都大学数理解析研究所の望月 新一教授で、５年前に論文で発表したのだがこれがあまりに難しすぎてその独創性ゆえに論文を理解できる数学者がほとんどおらず、それを理解するための勉強会が数学者の間で開かれるほど 異例な経過を辿っていた。もちろんメディアの関心も高かったのだが、望月教授は取材などを全く受けずジャーナリストの理解も全く進んでいなかった。

振り返ってみると、２０世紀に数学の世界だけでなく一般社会でもある程度知られているいくつかの未解明な難問があった。フェルマーの最終定理、ポアンカレ予想、リーマン予想、ＡＢＣ予想の４つだ。フェルマーの最終定理は１６３７年にフランスのフェルマーが提示したもので、１９９５年に英国のアンドリュー・ワイズが解決するまで３５０年以上数学者の挑戦を退けてきた。ポアンカレ予想は１９０４年にフランスのポアンカレが提示して、２００６年にロシアのグレゴリー・ペレルマンが証明したもののその功績で与えられることになった数学界のノーベル賞ともいわれるフィールズ賞を辞退して話題になった。

リーマン予想は以前このコラムで２回ほど登場させたことのある問題で、１８５９年にドイツのリーマンが提示していて、アメリカのクレイ研究所が解決に１００万ドルの懸賞金をかけているが１６０年間未だに未解決な予想だ。これには有能な天才数学者の人生を大きく狂わせたりしたいわくつきの経過がある。近年で有名なのはフランスのド・ブランジュとアメリカのジョン・ナッシュで、ド・ブランジュはこの予想を証明したと以前にも３回も発表して、ＮＨＫで紹介された時には４回目の証明が提示された後で私も期待したが結局は証明に失敗したことが判明した。そういうことで 彼はオオカミ少年と不名誉な批判もされているようだ。

ナッシュは映画「ビューティフル・マインド」を観て感動したものだったが、このノーベル賞受賞者でもあるナッシュの数奇な人生を見事に描いていた。これは映画としてもラッセル・クロウの熱演が光っていて最高の出来で、アカデミー賞も受賞したと記憶している。ただしナッシュはこのリーマン予想の証明のために精神病を患い３０年間も苦しむという犠牲を払いながらも結局は証明を成就することはできなかった。彼ら以外にも多くの数学者を混乱と破滅の人生に招くというので数学者に敬遠された時期もあったが、未だに未解決なまま今日を迎えている。この予想が凄いのは数学界の単なる素数の配列規則が物理学での原子核のミクロ空間の法則と全く同じ数式で表現できるというところだろう。つまり数学上の一規則 に過ぎないものが宇宙を支配する根源的な法則と関係するという想像を絶する発展性を秘めていることになる。

最後にＡＢＣ予想だが、１９８５年と４つの難問の中では一番新しく提示された問題だが、これは望月教授の成果を発展させるとフェルマーの最終定理も簡単に証明できるほかほかの数々の難問も一気に解決できる可能性があり、ネイチャー誌は望月教授の１２年の論文投稿後に「フェルマーの最終定理を上回る意義がある」と評したほどだ。それが５年の査読を経てようやく数学者の理解も進んで先日正式に証明が認められることになったのだ。

今回のことで２０世紀に残っていた４つの超難問はリーマン予想を除いて解明されたことになる。私が４０歳過ぎる頃まではこれらは全く証明されないで 神秘性を秘めて残っていたので、数学者の偉業に喝采する気持ちになると同時にある意味で少々寂しい気分にもなる。ただしリーマン予想は天才数学者をもってしても相当手強いしそう簡単には証明されることはないだろう。またＡＢＣ予想がそうであるように今後また新しい難問が提示される可能性もある。

因みにリーマン予想は文章で表すと【ゼータ関数の自明でない零点は、全て実部が1/2の直線上に存在する】となり、理解出来るかどうかは別にして簡単に一行の文章で表せるが（何年か前のＮＨＫの番組では、この訳の分からないゼータ関数の零点をグラフィックを使って非常に分かりやすく説明していた）、これに反しＡＢＣ予想はこれを文章や数式で表すだけでも相当に難しい。一応、最後に リーマン予想の以外の３つの問題（予想）を記載しておきます。