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フェルマーの最終定理

コロナウィルスのせいで受診患者数が極端に減っていて、毎日の診療が暇でしようがないほどになっている。経営的にも相応に痛手を負っているが、時間ができたので国からの各種給付金や助成金などの申請書類を作成したり、オンライン申請で送信したりして時間を有効に使うようにしている。それでもまだ時間があるので日頃読めなかった本を読んだりして時間をつぶしている状態だ。そういうことで以前から気になっていて未だに読んでなかった「フェルマーの最終定理」をアマゾンから取り寄せてみた。いざ読み始めてみるとこれは最高に面白く時間を忘れて一気に読み終えた。これはここ数年で最も興奮して読み終えた本だろう。

内容は２５００年前のピタゴラスの定理（直角三角形の三辺Ｘ，Ｙ，Ｚにおいて）Ｘ²＋Ｙ²＝Ｚ²　を１７世紀の法律家で数学者フェルマーが少し発展させたもので２乗のところをｎ乗としてｎが３以上の場合はこの式は成り立たないという定理を発表したものだ。ｎが１のＸ＋Ｙ＝Ｚは２＋３＝５など無限にある。２がピタゴラスの定理で直角三角形なら成り立つので３²＋４²＝５²などこれも無限に存在する。しかし３乗になると確かにまるで見つけることができない。ただしこれはフェルマーの発表以来３００年以上誰も証明してないので正確には「フェルマーの最終予想」と言うのが正しい。証明されて初めて定理になる決まりになっている。

フェルマーは１７世紀にアマチュアながら素晴らしい業績を上げた数学者で多くの定理を出している。ただアマチュアらしくその多くは定理を発表するだけで証明はそれほど多くは残していない。このフェルマーの最終定理も本の余白に書いていて、「この証明は自分で驚くような方法で行ったが、解法を書くには余白が狭すぎる」と言って証明を残してない。その後、ｎが３，５，７などの場合は他の数学者によってフェルマーの予想が正しいことが証明されて、フェルマーの言っていることはおおよそ正しいとの認識が広まりフェルマーの定理と言われるまでになった。そういう経過でフェルマーの見つけた定理のうち一番最後まで証明されなかったものとして「フェルマーの最終定理」と呼ばれるようになっている。ただしｎは無限にあり証明するのは至難の業だ。例えばｎ＝８５４億なら成立した！なんてこともないとも言えない。

これを証明するためにその時代で最高の数学者が挑んだが、結局誰も成し遂げることはできなかったしそのために数学者としての人生を台無しにしたものも多くいる。そのうちにこの定理に首を突っ込むと人生を狂わせるとの風評が発つほどで３００年の間数学者を悩ましてきた（興奮させてきた）曰く付きの定理だ。１８世紀、１９世紀も莫大な懸賞金が掛けられて大いに社会的な興味も誘ったが、それに挑んだ優れた多くの数学者を跳ねのけてもう証明はできないのではないか？と思われていた時代が過ぎていった。ところが２０世紀に入って東京大学の谷山、志村が楕円方程式とモジュラー形式に関する「谷山・志村予想」を１９５５年に発表してから次第に様相が変化してくる。これは本来フェルマーの最終定理とは全く関係ないものだが、１９８４年ドイツのゲルハルト・フライが谷山・志村予想を証明したらそれは即フェルマーの最終定理の証明につながるとの驚くべき発表をし尚且つ三次方程式を用いて数式で見事にそれを証明した。

ただ谷山・志村予想自体が証明するのは困難なうえにいくつかの別領域の数学の世界を結ぶ知識も必要だったのですぐにフェルマーの最終定理解明まで到達することはなかった。ただし何人かの天才数学者の手で頂点に少しずつ近づく手段は増えていったようだ。そういう時に１０歳の時図書館でフェルマーの最終定理を目にして、この定理を証明すると心に誓っていたアンドリュー・ワイルズが登場する。彼はこの決心をした時は既にプリンストン大学の数学教授になっていたが、少年からの夢を実現しようと大学や学会なども極力顔を出さずに、なんと７年間も自室に籠ってこの定理だけを研究する生活に入った。

途中で紆余曲折あり何度もこの証明を遂行することに挫折しかかったが、１９世紀のフランスの若き天才数学者エヴァリスト・ガロアの群論理論や岩澤健吉の理論に鋭い打開策を見出して、１９９５年に遂に谷山・志村予想を証明することに成功した。つまりフェルマーの最終定理を証明してこの３５０年にわたる戦いに終止符を打った。ワイルズの１０才からの夢を実現した喜びは我々が想像できない程大きかったし、現プリンストン大学教授の志村五郎の喜びもひとしおだった。ただ谷山豊はこの喜びに接することはできなかった。彼は１９５８年に婚約が決まった後で若くして自殺していた。婚約者も直ぐにその後を追うという痛ましい死だった。ガロアも１８３２年に２０歳にして女性をめぐる銃での決闘で死亡している。大学へも入学できなかった彼がこの死の前夜に徹夜で書き上げた遺作が後世高く評価されている「群論」だ。フランス革命後の社会で恵まれなかったこの若き天才もワイルズが１６０年後に自身の理論を使ってフェルマーの最終定理を証明したのは本望だったろう。

ピタゴラスからなら２５００年、フェルマーからも３５０年間も数学者を翻弄し続けて、その間、喜悲劇入り乱れて多くの人間に関わってきたこの定理もやっと安住の地を得た感じだろうか。数学の面白い所は他の理系の学問なら３００年も解決できないことはまず考えられないのにたいし、数学だけはこんなことが往々にして起こる。つまりピタゴラスの定理は２５００年たっても真理で後世でこれが覆ることはないが物理では真理が覆ることは頻繁に起こる。ニュートン力学は当時は絶対的な真理だったが、光の速さを相手にすると通用せず相対性理論が真理になる。物質の最小単位である分子も原子と電子だったのがニュートリノだったりヒッグス粒子だったり後になると新しい発見で塗り替えられる。この辺りが数学が人を魅了するところだろうか。つまり人間の頭と紙とエンピツで全てが解決するし、何千年経ってもそれは絶対的な真理で誰もそれを書き換えることはできない。そういう事で数学の素晴らしさに今更ながら魅入られたここ数日間だった。